Небольшое предисловие- под Альтернативной историей я понимаю
ситуацию, которое отличается от реальной на одно два Возможных допущения, т.е. в данном случае смерть Юрия и замену его толковым полководцем и тот факт, что русские приняли наступательную стратегию).
А также что готовиться стали заранее, с 1236 г.
( поскольку курултай, т.е. открытое решение был в 1235, то информация об этом за год могли достигнуть и Руси)

Итак, великим князем владмирским в этот момент был Ярослав, имевший определенный боевой опыт.
Вовремя поняв опасность с Востока, а предпосылки были, новый князь мобилизовал все доступные ему силы.
Т.е. это Владимирское княжество, Рязанское (во многом вассал Владимирского, к тому же находящееся на направлении главного удара и имеющего свой интерес).

Мы можем даже предположить что Ярослав добился небольшой
помощи от Новгорода. Все таки позиции позиции Юрьевичей там сильны.
Так что относительно крупный (1-2 т. чел) отряд ушкуйников,
способных действовать по рекам, новгородцы может быть и послали бы.
Учитывая что это район Волги им есть где развернуться, а монголы вряд ли могли что то толковое этому противопоставить.
Кроме того, Ярослав был в текущей реальности время князем Переславля Русского, родового домена Мономаховичей.
Так что еще 1-3 т. опытных мечей мог привести от туда.

Возможно полк другой мог прислать черниговский князь в обмен на невмешательство в Южнорусские дела или Даниил Галицкий как помощ союзнику.

Все эти силы были посланы в Булгарию (как известно, в текущей реальности булгары просили помощи русских).

Кроме того, в случае если русские идут на помощь Болгарам,
они могут рассчитывать на помощь армии болгар.
Учитывая что для их разгрома обычно хватало сил Владимрского княжества, и что битва будет на их территории то они скорее всего могли
мобилизовать примерно столько же, сколько и князь Владимисркий.
Плюс какие то части половцев могли прийти на помощь русским,
они то с монголами уже воевали.
Как показала Калка, они вряд ли могли выдвинуть что подобное ударным,
собственно монгольским частям, имевшим огромный боевой опыт,
хорошее (тяжелое ворружение) и главное выучку и слаженность,
дававшую им способность четко маневрировать бою.
Но как легкая конница вполне могли действовать на уровне частей из подчиненных народов.

Так, вроде бы никого не забыл?

Численно это могло выглядеть примерно так
20-30 т. Владимирское княжество
5-10 т Рязанское
5-10 т. другие русские княжества (южане и новгородцы).

20-30 т булгары
5-15 т. половцы.

Итого от 60 до 100 т .чел.

Честно говоря первая цифра мне представляется более реальной,
тем более что ее увеличение пойдет за счет числа ополченцев.

Т.е. на мой взгляд Ярослав мог вывести в Болгарию порядка 30 т воинов,
очень значительный процент среди них составляли дружинники князей
и бояр, т.е. боеспособность армии была максимально высокой по русским меркам.

Плюс получить помощь порядка 30 т булгар, значительная часть которых была ополченцами, боле-менее боеспособными при защите городов.

Ну и примерно 10 т. половцев, принимая то, что они в основном могли действовать на флангах и в тылу.

Итого порядка 70 т. максимум.

Армия татаро-монгол, как мне представляться после обсуждения в соседней ветки и чтения некоторой литературы насчитывала 120-140 т. воинов.
Собственно монгольские части, чьи боевые качества нельзя переоценить,
видимо составляли максимум треть этой армии.

Известно что в походе участвовало 12 чингисидов, часто говорят что каждый из них имел свой тумен, т.е. примерно 10 т. всадников.
Возможно что наиболее прославленные темники, такие как Субудей
и Бурундай имели собственные тумены.

Что касается состава этой армии то можно заметить, что 5 потомков Чингисхана представляли Джучиды- Бату, Берке, Орду, Тангут и Шейбан.
Известно, что их владения в Монголии давали им максимум 4000 всадников. Плюс какое то количество монгол, которое перекочевало в новые владения, в качестве свит, новых аристократов и т.д.
Т.е. можно предположить что каждый из джучидов имел гвардию и личную охрану из монголов, примерно по тысяче каждый.
Остальной состав их туменов был видимо из местных племен, поскольку
новые владения входили в состав их домена, а значит это выглядит логичным.

От трех остальных улусов шло по двое чингисидов- Гуюк и Кадан от угедеев, Байдар и Бури от чагатидов, и Менгу и Бучек от тулуидов.
Плюс младший сын Чингисхана Кулькан.
И темники, хотя трудно сказать, откуда они набирали своих тумены (если они у них были).
Возможно, что и из монголии.
Можно предположить, что парность ханов от каждого из улусов означает что каждый из улусов дал 1 тумен монголов(из родовых владений) и 1 тумен из числа покоренных народов.

Судя по всему на Русь пошла примерно половина этой армии,
т.е. порядка 70.

Но если мы предпологаем, что русские действуют наступательно и в союзе
с другим, то и монголы скорее всего сосредоточили бы основные силы
против них, уменьшив те отряды, которые бросали на фланги.

Таким образом их армия, направленная против Ярослава скорее всего насчитывала 100-120 т. человек, превосходя его не только количественно,
но и качественно, поскольку ее ядро (монголы) имели огромный боевой опыт, причем опыт участия в боевых действиях вдали от своих земель,
умение действовать в составе больших армий ( т.е. наличествовала сплоченность и понимание то, как действовать большими армиями, т.е.
то чего не было у русских).

Попытка разбить более многочисленную конницу в степи была как мне кажеться обречена на провал, хотя один два тумена можно было и потрепать при известной удаче.

Фактически речь скорее всего пошла бы о новой Калке, когда кочевники
сначала заманивают противника куда им надо, заставляя сломать боевые порядки, а затем наносят мощный удар с помощью своих отборных тежеловооруженных частей, (которых не было у половоцев, чем видимо и объясняется поражение на калке, когда русские кнезья просто оказались не готовы к наличию у противника тяжелой и хорошо обученной конницы)

Таким образом единственный вариант, который дает шансы на успех,
мне видится следующим образом.
Сосредоточить основные силы в каком то крупном городе (огромный город с мощной системой укреплений), вымотать татаро-монгол при штурме.
А затем нанести им мощный контрудар, дополнив его атакой с воды со стороны ушкуйников.

В случае серьезного успеха и серьезных потерь со стороны монголов вытеснить их в степь, но не дать переправиться через Волгу обратно.

А дальше, пользуясь тем, что у монголов нет речного флота и скорее свего возможности его быстро создать, с одной стороны начинать их атаковать,
используя укрепления Булгар и суда как базу.
С другой стороны, отправить часть легковооруженной конницы (половцы,
плюс некторое количество булгар) в атаку на заволжские кочевья,
громя только что завоеванные улусы.

В случае успеха такая тактика заставит монгол вновь втянуть в тяжелые штурмы булгарских городов, битком набитых русскими и булгарскими воинами.
Или/и переправит часть сил на защиту своих новых улусов.

При благоприятном течении дел есть надежда на дизертиртство из состава Орды тех, кто имеет кочевья поблизости (частично из за нежелания служить неудачникам, частично из того, что нужно защищать своих)
И тяжелые потери среди туменов из других улусов, которые не смогут даже прикрыть своих воинов при штурме пленниками, поскольку при такой напряженной борьбе их просто не будет.

Даже в этом случае успех представляется мне гадательным и вероятность
успешного исхода (т.е. Орда уходит обратно, понеся тяжелейшие потери,
а у монголов вскоре начинается внутренняя борьба за власть, что резко
снижает возможности к экспансии) равно примерно 50 процентам.